# Reducerea la primul cadran

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie/reducerea-la-primul-cadran
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie/reducerea-la-primul-cadran.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Trigonometrie](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie)
Actualizat: 2026-11-01

Formulele pentru π−t, π+t și 2π−t, metoda în doi pași și exemple complete de calcul.

## Pe scurt pentru BAC

- Orice unghi din cadranele II, III sau IV are un unghi asociat în cadranul I cu aceleași valori în modul; doar semnul se poate schimba.
- Metoda are doi pași: stabilești semnul funcției în cadranul unghiului dat, apoi calculezi valoarea pe unghiul asociat din cadranul I.
- Pentru un unghi din cadranul II scrii forma $\pi - t$ și folosești $\sin(\pi - t) = \sin t$, $\cos(\pi - t) = -\cos t$.
- La $\pi + t$ sinusul și cosinusul își schimbă amândouă semnul, iar la $2\pi - t$ doar sinusul: $\sin(2\pi - t) = -\sin t$.

## Ideea metodei

Orice unghi din cadranele II, III sau IV se poate lega de un unghi din cadranul I cu același sinus și cosinus în modul; doar semnul se poate schimba. Metoda are doi pași:

1. stabilești **semnul** funcției în cadranul unghiului dat;
2. calculezi valoarea pe **unghiul asociat** din cadranul I.

## Formulele de reducere

**Cadranul II** (unghi de forma $\pi - t$):
$$\sin(\pi - t) = \sin t, \qquad \cos(\pi - t) = -\cos t$$

**Cadranul III** (unghi de forma $\pi + t$):
$$\sin(\pi + t) = -\sin t, \qquad \cos(\pi + t) = -\cos t$$

**Cadranul IV** (unghi de forma $2\pi - t$):
$$\sin(2\pi - t) = -\sin t, \qquad \cos(2\pi - t) = \cos t$$

## Exemple rezolvate

**1.** $\sin \dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.

**2.** $\cos \dfrac{4\pi}{3} = \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.

**3.** $\sin \dfrac{7\pi}{4} = \sin\left(2\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

**4.** Calculează $\cos 210^\circ$.

$210^\circ = 180^\circ + 30^\circ$, cadranul III, unde cosinusul e negativ: $\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

## Greșeli frecvente

1. Semnul îl dă cadranul unghiului INIȚIAL, nu al celui redus. Întâi întrebi "în ce cadran sunt?", apoi calculezi.
2. Scrie unghiul explicit în forma $\pi - t$, $\pi + t$ sau $2\pi - t$ înainte să aplici formula; ghicitul din memorie produce semne greșite.
3. Pentru unghiuri peste $2\pi$, redu întâi cu periodicitatea ($-2\pi$ oricâte ori e nevoie), abia apoi aplică reducerea la primul cadran.