# Ecuații trigonometrice de bază

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie/ecuatii-trigonometrice
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie/ecuatii-trigonometrice.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Trigonometrie](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie)
Actualizat: 2026-11-01

Rezolvarea ecuațiilor sin x = a, cos x = a, tg x = a cu mulțimile complete de soluții.

## Pe scurt pentru BAC

- Ecuația $\sin x = a$ are soluții doar pentru $a \in [-1, 1]$: $x = \arcsin a + 2k\pi$ sau $x = \pi - \arcsin a + 2k\pi$.
- Ecuația $\cos x = a$, tot pentru $a \in [-1, 1]$, are soluțiile $x = \pm \arccos a + 2k\pi$.
- Ecuația $\text{tg} \, x = a$ are soluții pentru orice $a$ real: $x = \text{arctg} \, a + k\pi$.
- Cazuri particulare frecvente: $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$ și $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

## Ecuația $\sin x = a$

Are soluții doar pentru $a \in [-1, 1]$:

$$x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{sau} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}$$

**Exemplu.** $\sin x = \dfrac{1}{2}$: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ sau $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

## Ecuația $\cos x = a$

Tot pentru $a \in [-1, 1]$:

$$x = \pm \arccos a + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}$$

**Exemplu.** $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$: $x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.

## Ecuația $\text{tg} \, x = a$

Are soluții pentru ORICE $a$ real, cu perioada $\pi$:

$$x = \text{arctg} \, a + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}$$

**Exemplu.** $\text{tg} \, x = 1$: $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.

## Cazurile particulare (cele mai cerute)

1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi$;
2. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$; $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$;
3. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$;
4. $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi$; $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2k\pi$.

## Exemplu tip BAC (soluții într-un interval)

Câte soluții are $\sin x = \dfrac{1}{2}$ în $[0, 2\pi]$? Din familiile de mai sus, în interval pică $\dfrac{\pi}{6}$ și $\dfrac{5\pi}{6}$: DOUĂ soluții.

> [!RETINE]
> sin dă două familii pe perioadă (unghiul și suplementul), cos dă plus-minus, tg dă o familie cu perioada π. Scrie mereu "k ∈ Z", altfel soluția e incompletă.

## Greșeli frecvente

1. $\sin x = 2$ NU are soluții: sinusul e mărginit în $[-1, 1]$.
2. La cos, a doua soluție e $-\arccos a$, nu $\pi - \arccos a$ (aia e la sin).
3. La numărarea soluțiilor pe interval, testează fiecare familie cu $k = 0, \pm 1$: nu ghici.