# Cercul trigonometric și radianii

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie/cercul-trigonometric-si-radianii
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie/cercul-trigonometric-si-radianii.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Trigonometrie](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/trigonometrie)
Actualizat: 2026-11-01

Ce este cercul trigonometric, cum se măsoară unghiurile în radiani și cum citim sinusul și cosinusul direct de pe cerc.

## Pe scurt pentru BAC

- Cercul trigonometric are centrul în origine și raza $1$, iar unghiurile se măsoară de la semiaxa pozitivă $Ox$, în sens invers acelor de ceasornic.
- Punctul de pe cerc al unghiului $t$ este $M(t) = (\cos t, \sin t)$, de aceea ambele funcții iau valori în $[-1, 1]$.
- Legătura grade-radiani este $180^\circ = \pi$; din grade în radiani înmulțești cu $\dfrac{\pi}{180}$.
- Semnele pe cadrane: în I ambele pozitive, în II doar sinusul, în III ambele negative, în IV doar cosinusul pozitiv.

## Cercul trigonometric

**Cercul trigonometric** este cercul cu centrul în originea reperului cartezian și raza $1$. Pe el măsurăm unghiurile pornind de la semiaxa pozitivă $Ox$, în sens invers acelor de ceasornic (sensul trigonometric).

Punctul de pe cerc corespunzător unghiului $t$ are coordonatele:

$$M(t) = (\cos t, \; \sin t)$$

Adică: **cosinusul este abscisa** punctului, iar **sinusul este ordonata** lui. Aceasta este definiția modernă a celor două funcții și motivul pentru care amândouă iau valori doar în intervalul $[-1, 1]$.

## Radianul

Un **radian** este măsura unghiului la centru care subîntinde un arc de lungime egală cu raza. Legătura cu gradele vine din faptul că un cerc întreg are $360^\circ$ și $2\pi$ radiani:

$$180^\circ = \pi \text{ radiani}$$

Conversii utile:

| grade | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ | $360^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| radiani | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |

Regula practică: din grade în radiani înmulțești cu $\dfrac{\pi}{180}$; din radiani în grade înmulțești cu $\dfrac{180}{\pi}$.

## Cadranele și semnele

Axele împart cercul în patru cadrane. Semnele funcțiilor se citesc direct din coordonate:

| Cadran | intervalul lui $t$ | $\sin t$ | $\cos t$ |
|---|---|---|---|
| I | $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ | $+$ | $+$ |
| II | $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ | $+$ | $-$ |
| III | $\left(\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right)$ | $-$ | $-$ |
| IV | $\left(\dfrac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ | $-$ | $+$ |

## Exemplu rezolvat

Transformă $150^\circ$ în radiani și stabilește semnul sinusului și cosinusului.

$150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}$. Unghiul este în cadranul II, deci $\sin \dfrac{5\pi}{6} > 0$ și $\cos \dfrac{5\pi}{6} < 0$.

## Greșeli frecvente

1. Sensul pozitiv pe cerc este invers acelor de ceasornic; unghiurile negative merg în sensul acelor.
2. Nu confunda coordonatele: cosinusul este PRIMA coordonată (abscisa), sinusul a doua (ordonata).
3. $\pi$ radiani înseamnă $180^\circ$, nu $360^\circ$: e cea mai frecventă sursă de conversii greșite.

Folosește instrumentul interactiv de mai jos: trage punctul pe cerc și urmărește cum se schimbă valorile și semnele în fiecare cadran.