# Legi de compoziție și grupuri

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/structuri-algebrice/legi-de-compozitie
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/structuri-algebrice/legi-de-compozitie.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Legi de compoziție și structuri algebrice](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/structuri-algebrice)
Actualizat: 2026-11-01

Lege de compoziție, parte stabilă, asociativitate, element neutru, simetrice și structura de grup.

## Pe scurt pentru BAC

- O lege de compoziție pe $M$ asociază oricărei perechi $(x, y)$ din $M$ un element $x \circ y$ tot din $M$.
- Neutrul $e$ verifică $x \circ e = e \circ x = x$, iar simetricul $x'$ verifică $x \circ x' = e$.
- Un grup are lege asociativă, element neutru și simetric pentru orice element; dacă legea e și comutativă, grupul e abelian.
- Multe legi se rescriu $(x - a)(y - a) + a$; de exemplu, pentru $(x-3)(y-3) + 3$, compunerea lui $x$ cu el însuși de $n$ ori dă $(x-3)^n + 3$.

## Legea de compoziție

O **lege de compoziție** pe mulțimea $M$ asociază oricărei perechi $(x, y)$ din $M$ un element $x \circ y$ tot din $M$ (parte stabilă).

Exemplul standard la BAC: $x \circ y = x + y - 2$ pe $\mathbb{R}$.

## Proprietățile care se verifică

**1. Asociativitatea:** $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$.

Pentru exemplul nostru: $(x \circ y) \circ z = (x + y - 2) + z - 2 = x + y + z - 4$ și la fel pe partea dreaptă. ✓

**2. Comutativitatea:** $x \circ y = y \circ x$. Aici: evidentă din simetria formulei. ✓

**3. Elementul neutru** $e$: $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice $x$.

$$x + e - 2 = x \Rightarrow e = 2$$

**4. Simetricul** lui $x$: elementul $x'$ cu $x \circ x' = e$.

$$x + x' - 2 = 2 \Rightarrow x' = 4 - x$$

## Structura de grup

$(G, \circ)$ este **grup** dacă legea este asociativă, are element neutru și orice element are simetric. Dacă în plus e comutativă, grupul e **abelian**.

**Exemple clasice:** $(\mathbb{Z}, +)$ este grup abelian (neutru 0, simetricul lui $x$ este $-x$); $(\mathbb{R}^*, \cdot)$ este grup (neutru 1, simetricul lui $x$ este $1/x$).

$(\mathbb{N}, +)$ NU este grup: lipsesc simetricele (opusul lui 3 nu e natural).

## Trucul de calcul rapid

Multe legi de la BAC se rescriu $x \circ y = (x - a)(y - a) + a$ sau $x \circ y = (x - a) + (y - a) + a$. Exemplu: $x \circ y = xy - 3x - 3y + 12 = (x-3)(y-3) + 3$. Cu forma asta, compunerile repetate devin puteri: $\underbrace{x \circ x \circ \ldots \circ x}_{n} = (x-3)^n + 3$.

> [!RETINE]
> Ordinea verificărilor la grup: parte stabilă → asociativitate → neutru → simetrice. Neutrul se află PRIMUL, pentru că simetricele depind de el.

## Greșeli frecvente

1. Elementul neutru trebuie să fie ÎN mulțimea dată, nu doar să existe formal.
2. Nu presupune comutativitatea: verific-o separat.
3. La forma restrânsă $(x-a)(y-a)+a$, verifică prin dezvoltare că regăsești legea inițială.