# Evenimente aleatoare și probabilități

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/statistica-si-calcul-financiar/probabilitati-evenimente
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/statistica-si-calcul-financiar/probabilitati-evenimente.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Statistică, probabilități și calcul financiar](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/statistica-si-calcul-financiar)
Actualizat: 2026-09-22

Spațiul de selecție, operații cu evenimente, evenimentul contrar și formula reuniunii.

## Experiment, probă, eveniment

Un **experiment aleator** are mai multe rezultate posibile, iar rezultatul nu poate fi prevăzut cu certitudine. Aruncarea unui zar e exemplul standard.

**Spațiul de selecție** $\Omega$ e mulțimea tuturor rezultatelor posibile. La un zar, $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$.

Un **eveniment** e o submulțime a lui $\Omega$. „Apare un număr par" înseamnă $A = \{2,4,6\}$.

| Tip | Ce înseamnă | Probabilitate |
|---|---|---|
| **Sigur** | se produce întotdeauna ($\Omega$) | 1 |
| **Imposibil** | nu se produce niciodată ($\emptyset$) | 0 |
| **Aleator** | se poate produce sau nu | între 0 și 1 |

## Definiția clasică

Când toate rezultatele sunt **egal probabile**:

$$P(A) = \frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$$

Pentru „număr par la zar": $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Condiția de egală probabilitate e esențială. Formula nu se aplică unui zar măsluit.

Din definiție rezultă că $0 \le P(A) \le 1$ mereu. Un rezultat negativ sau supraunitar semnalează o greșeală de calcul.

## Operații cu evenimente

| Operație | Notație | Se citește |
|---|---|---|
| Reuniune | $A \cup B$ | A **sau** B |
| Intersecție | $A \cap B$ | A **și** B |
| Contrar | $\bar{A}$ | **non** A |

**Evenimentul contrar**:
$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

E cea mai utilă formulă la examen. Când „cel puțin unul" e greu de numărat direct, calculezi probabilitatea evenimentului contrar, „niciunul", și scazi din 1.

**Reuniunea**:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Se scade intersecția pentru că altfel elementele comune ar fi numărate de două ori.

Dacă evenimentele sunt **incompatibile**, adică $A \cap B = \emptyset$, formula devine $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

## Exemplu

La o aruncare cu zarul, fie $A$ = „număr par" $= \{2,4,6\}$ și $B$ = „număr mai mare ca 3" $= \{4,5,6\}$.

- $P(A) = \dfrac{3}{6}$, $P(B) = \dfrac{3}{6}$;
- $A \cap B = \{4,6\}$, deci $P(A \cap B) = \dfrac{2}{6}$;
- $P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

Verificare directă: $A \cup B = \{2,4,5,6\}$, deci 4 cazuri din 6. Corect.

## Legătura cu combinatorica

La probleme cu extrageri, numărul de cazuri se calculează cu **combinări**, pentru că ordinea nu contează:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Exemplu: dintr-o urnă cu 5 bile albe și 3 negre se extrag 2 bile. Probabilitatea ca ambele să fie albe:

$$P = \frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$$

> [!RETINE]
> Când problema cere „cel puțin un...", folosește evenimentul contrar. E aproape întotdeauna calea mai scurtă.

## Greșeli frecvente

1. Se adună probabilitățile la reuniune fără a scădea intersecția.
2. Se folosesc aranjamente în loc de combinări la extrageri simultane, unde ordinea nu contează.
3. Se obțin probabilități mai mari ca 1, semn sigur de eroare.
4. Se aplică definiția clasică unor cazuri care nu sunt egal probabile.