# Sisteme de ecuații liniare

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/sisteme-de-ecuatii/sisteme-liniare
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/sisteme-de-ecuatii/sisteme-liniare.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Sisteme de ecuații liniare](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/sisteme-de-ecuatii)
Actualizat: 2026-11-01

Rezolvarea sistemelor 2x2 și 3x3: substituție, reducere și regula lui Cramer.

## Pe scurt pentru BAC

- Prin metoda reducerii înmulțești ecuațiile astfel încât, adunându-le, o necunoscută să se elimine.
- Regula lui Cramer: dacă $\Delta \ne 0$, atunci $x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}$ și $y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}$.
- $\Delta_x$ și $\Delta_y$ se obțin înlocuind coloana necunoscutei respective cu coloana termenilor liberi.
- Dacă $\Delta = 0$ și un determinant secundar e nenul, sistemul este incompatibil, adică nu are soluții.

## Sistemul 2x2

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

**Metoda reducerii.** Înmulțim ecuațiile astfel încât un necunoscut să se elimine prin adunare.

**Exemplu.** $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$: adunând, $2x = 6 \Rightarrow x = 3$, apoi $y = 2$.

## Regula lui Cramer (2x2)

Determinantul sistemului: $\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$. Dacă $\Delta \ne 0$, soluția este unică:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}$$

unde $\Delta_x$, $\Delta_y$ se obțin înlocuind coloana lui $x$, respectiv $y$, cu coloana termenilor liberi.

**Exemplu.** $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + 3y = 11 \end{cases}$: $\Delta = 6 - 1 = 5$, $\Delta_x = 21 - 11 = 10$, $\Delta_y = 22 - 7 = 15$, deci $x = 2$, $y = 3$. Verificare: $2 \cdot 2 + 3 = 7$ ✓.

## Discuția sistemului

1. $\Delta \ne 0$: soluție UNICĂ (sistem compatibil determinat);
2. $\Delta = 0$ și determinanții secundari nuli: o INFINITATE de soluții (compatibil nedeterminat), dacă măcar un coeficient al necunoscutelor e nenul; excepție: dacă toți coeficienții necunoscutelor sunt nuli și un termen liber e nenul (de ex. $0x + 0y = 1$), sistemul e incompatibil, deși toți determinanții sunt nuli. În caz de dubiu decide teorema lui Rouché;
3. $\Delta = 0$ și un determinant secundar nenul: FĂRĂ soluții (incompatibil).

## Exemplu de discuție

Pentru ce $m$ sistemul $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + my = 4 \end{cases}$ NU are soluție unică?

$\Delta = m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$. Pentru $m = 2$ a doua ecuație e dublul primei: infinitate de soluții.

> [!RETINE]
> $\Delta \ne 0 \iff$ soluție unică. Discuția după parametru începe MEREU cu anularea determinantului.

## Greșeli frecvente

1. La $\Delta_x$ se înlocuiește coloana COEFICIENȚILOR lui $x$ cu termenii liberi, nu o linie.
2. $\Delta = 0$ nu înseamnă automat "fără soluții": poate fi și infinitate.
3. Verifică soluția în AMBELE ecuații.