# Sisteme 3x3: eliminarea succesivă (Gauss)

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/sisteme-de-ecuatii/sisteme-3x3-gauss
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/sisteme-de-ecuatii/sisteme-3x3-gauss.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Sisteme de ecuații liniare](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/sisteme-de-ecuatii)
Actualizat: 2026-11-01

Rezolvarea sistemelor cu trei necunoscute prin combinarea ecuațiilor, cu verificare completă.

## Pe scurt pentru BAC

- Combini ecuațiile ca să elimini pe rând câte o necunoscută, până rămâi cu una singură.
- După ce afli ultima necunoscută, urci înapoi prin substituție ca să le găsești pe celelalte.
- Când coeficienții permit, scăderea a două ecuații poate da direct o necunoscută, ca $2y = 4$ din primele două ecuații.
- Din sistemul redus scoți o necunoscută, ca $y = 5 - 3x$, o înlocuiești în cealaltă ecuație și afli $x = 1$.

## Ideea metodei

Combini ecuațiile ca să ELIMINI pe rând câte o necunoscută, până rămâi cu una singură; apoi urci înapoi prin substituție.

## Exemplu rezolvat complet

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$$

**Pasul 1.** (Ec. 1) − (Ec. 2): $2y = 4 \Rightarrow y = 2$.

**Pasul 2.** (Ec. 1) − (Ec. 3): $2z = 6 \Rightarrow z = 3$.

**Pasul 3.** Din Ec. 1: $x = 6 - 2 - 3 = 1$.

**Soluția**: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$. Verificare în ecuația 2: $1 - 2 + 3 = 2$ ✓ și în ecuația 3: $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

## Un exemplu cu eliminare dublă

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$$

**Elimin z din două perechi diferite:**

(Ec. 1) + (Ec. 3): $2x + 3y = 8$.

(Ec. 2) + (Ec. 3): $3x + y = 5$.

**Sistemul redus 2x2**: din a doua, $y = 5 - 3x$; înlocuiesc în prima:

$$2x + 3(5 - 3x) = 8 \Rightarrow 2x + 15 - 9x = 8 \Rightarrow -7x = -7 \Rightarrow x = 1$$

Apoi $y = 5 - 3 = 2$ și, din Ec. 1, $z = 6 - 1 - 2 = 3$.

**Verificare în toate trei**: Ec. 1: $1+2+3=6$ ✓; Ec. 2: $2-2+3=3$ ✓; Ec. 3: $1+4-3=2$ ✓.

> [!RETINE]
> Eliminați aceeași necunoscută din DOUĂ perechi diferite de ecuații: obții un sistem 2x2 curat. Verificarea finală în toate cele trei ecuații inițiale prinde orice alunecare de calcul.

## Greșeli frecvente

1. Folosirea aceleiași perechi de ecuații de două ori → identități inutile (0 = 0).
2. Semnele la scădere: scazi TOATĂ ecuația, termen cu termen.
3. Soluția se verifică în ecuațiile INIȚIALE, nu în cele derivate.