# Șiruri monotone

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii/siruri-monotone
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii/siruri-monotone.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Șiruri și progresii](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii)
Actualizat: 2026-11-01

Șiruri crescătoare și descrescătoare: metoda diferenței și metoda raportului, cu exemple complete.

## Pe scurt pentru BAC

- Șirul e strict crescător dacă $a_{n+1} > a_n$ și strict descrescător dacă $a_{n+1} < a_n$ pentru orice $n$; ambele cazuri se numesc monotone.
- Metoda diferenței: calculezi $a_{n+1} - a_n$, aduci la o singură fracție și stabilești semnul pentru orice $n$.
- Metoda raportului, pentru termeni pozitivi: compari $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ cu $1$; peste $1$ șirul crește, sub $1$ descrește.
- La $\dfrac{2^n}{n!}$ raportul dă $\dfrac{2}{n+1}$, cel mult $\dfrac{2}{3}$ pentru $n \ge 2$, deci de la rangul 2 șirul descrește strict.

## Definiții

Șirul $(a_n)_{n\ge1}$ este:

1. **crescător** dacă $a_{n+1} \ge a_n$ pentru orice $n$; **strict crescător** dacă $a_{n+1} > a_n$;
2. **descrescător** dacă $a_{n+1} \le a_n$; **strict descrescător** dacă $a_{n+1} < a_n$.

Un șir care este crescător sau descrescător se numește **monoton**.

## Metoda 1: semnul diferenței

Calculăm $a_{n+1} - a_n$ și stabilim semnul.

1. Dacă $a_{n+1} - a_n > 0$ pentru orice $n$, șirul este strict crescător.
2. Dacă $a_{n+1} - a_n < 0$ pentru orice $n$, șirul este strict descrescător.

**Exemplu rezolvat.** Studiază monotonia șirului $a_n = \dfrac{2n+1}{n+1}$.

$$a_{n+1} - a_n = \dfrac{2n+3}{n+2} - \dfrac{2n+1}{n+1} = \dfrac{(2n+3)(n+1) - (2n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}.$$

Numărătorul: $(2n^2 + 5n + 3) - (2n^2 + 5n + 2) = 1 > 0$.

Numitorul este pozitiv, deci $a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$: șirul este **strict crescător**.

## Metoda 2: raportul (pentru șiruri cu termeni pozitivi)

Dacă $a_n > 0$, comparăm $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ cu $1$:

1. raport mai mare ca $1$ pentru orice $n$: șir strict crescător;
2. raport mai mic ca $1$: șir strict descrescător.

**Exemplu.** $a_n = \dfrac{2^n}{n!}$. Avem $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \dfrac{n!}{2^n} = \dfrac{2}{n+1}$.

Pentru $n \ge 2$ raportul este cel mult $\dfrac{2}{3} < 1$, deci de la rangul 2 șirul descrește strict.

## Greșeli frecvente

1. Metoda raportului cere termeni strict pozitivi. Pe un șir cu semne alternante raportul te minte.
2. Semnul diferenței trebuie stabilit pentru orice $n$, nu doar pentru primele valori. Adu totul la o singură fracție și judecă semnul general.
3. Un șir poate fi monoton doar de la un rang încolo, ca în exemplul cu $\dfrac{2^n}{n!}$: precizează rangul de la care are loc monotonia.