# Șiruri mărginite

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii/siruri-marginite
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii/siruri-marginite.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Șiruri și progresii](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii)
Actualizat: 2026-11-01

Când spunem că un șir este mărginit superior, inferior sau mărginit, cu exemple și o metodă clară de demonstrație.

## Pe scurt pentru BAC

- Șirul e mărginit superior dacă $a_n \le M$ pentru orice $n$ și mărginit inferior dacă $a_n \ge m$ pentru orice $n$.
- Mărginit înseamnă ambele margini, echivalent cu existența unui $K > 0$ cu $|a_n| \le K$ pentru orice $n$.
- La un termen general sub formă de fracție, separă o parte constantă de una care se micșorează, ca în $a_n = 2 - \dfrac{1}{n+1}$.
- Exemple de reținut: $\dfrac{1}{n}$ și $(-1)^n$ sunt mărginite, iar $n^2$ e mărginit doar inferior.

## Definiții

Șirul $(a_n)_{n\ge1}$ este:

1. **mărginit superior** dacă există un număr real $M$ astfel încât $a_n \le M$ pentru orice $n \ge 1$;
2. **mărginit inferior** dacă există $m \in \mathbb{R}$ astfel încât $a_n \ge m$ pentru orice $n \ge 1$;
3. **mărginit** dacă este mărginit și inferior și superior, adică există $m, M$ cu $m \le a_n \le M$ pentru orice $n$.

Echivalent, $(a_n)$ este mărginit dacă există $K > 0$ cu $|a_n| \le K$ pentru orice $n$.

## Exemple

1. $a_n = \dfrac{1}{n}$: avem $0 < a_n \le 1$, deci șirul este mărginit.
2. $a_n = n^2$: este mărginit inferior de $1$, dar nu este mărginit superior, pentru că depășește orice număr $M$ am alege.
3. $a_n = (-1)^n$: ia doar valorile $-1$ și $1$, deci este mărginit: $|a_n| \le 1$.

## Metoda de lucru la BAC

Ca să arăți că un șir dat printr-o fracție este mărginit, prelucrează termenul general până separi o parte constantă și o parte care se micșorează.

**Exemplu rezolvat.** Arată că șirul $a_n = \dfrac{2n+1}{n+1}$ este mărginit.

Scriem $a_n = \dfrac{2(n+1) - 1}{n+1} = 2 - \dfrac{1}{n+1}$.

Cum $0 < \dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{1}{2}$ pentru $n \ge 1$, rezultă:

$$\dfrac{3}{2} \le a_n < 2 \quad \text{pentru orice } n \ge 1.$$

Deci șirul este mărginit: toți termenii stau între $\dfrac{3}{2}$ și $2$.

## Greșeli frecvente

1. Nu e suficient să calculezi câțiva termeni și să observi că "par mici": mărginirea se demonstrează pentru TOȚI termenii, printr-o inegalitate generală.
2. Marginea nu trebuie să fie atinsă: în exemplul de mai sus niciun termen nu este egal cu $2$, dar $2$ este în continuare o margine superioară perfect validă.
3. Un șir nemărginit nu înseamnă "fără margine inferioară și superioară" simultan: $a_n = n^2$ are margine inferioară, dar tot nemărginit se numește, pentru că îi lipsește cea superioară.