# Progresii geometrice

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii/progresii-geometrice
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii/progresii-geometrice.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Șiruri și progresii](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii)
Actualizat: 2026-11-01

Rația, termenul general, suma primilor n termeni și media geometrică, cu exemple complete.

## Pe scurt pentru BAC

- Progresia geometrică are termeni nenuli și se obține înmulțind mereu cu aceeași rație nenulă: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
- Termenul general este $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, iar pentru $q \ne 1$ suma este $S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.
- Trei numere nenule $a, b, c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă $b^2 = a \cdot c$.
- Din doi termeni cunoscuți, raportul lor dă o putere a rației, de exemplu $\dfrac{b_4}{b_2} = q^2$.

## Definiție

Un șir $(b_n)_{n\ge1}$ cu termeni nenuli este **progresie geometrică** dacă fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu același număr nenul $q$, numit **rație**:

$$b_{n+1} = b_n \cdot q \quad \text{pentru orice } n \ge 1.$$

Exemplu: $2, 6, 18, 54, \dots$ este progresie geometrică cu $b_1 = 2$ și $q = 3$.

## Formulele de bază

**Termenul general:**
$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

**Suma primilor $n$ termeni** (pentru $q \ne 1$):
$$S_n = b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$$

**Proprietatea mediei geometrice:** trei numere nenule $a, b, c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă
$$b^2 = a \cdot c.$$

## Exemple rezolvate

**1.** Pentru progresia geometrică cu $b_1 = 2$ și $q = 3$, calculează $b_5$ și $S_5$.

$b_5 = 2 \cdot 3^4 = 162$, iar $S_5 = 2 \cdot \dfrac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \dfrac{242}{2} = 242$.

**2.** Într-o progresie geometrică, $b_2 = 6$ și $b_4 = 24$. Află $b_1$ și rația, știind că termenii sunt pozitivi.

$\dfrac{b_4}{b_2} = q^2 = 4$, deci $q = 2$ (termenii fiind pozitivi). Atunci $b_1 = \dfrac{b_2}{q} = 3$.

**3.** Determină $x > 0$ pentru care numerele $x$, $x + 6$, $9x$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Media geometrică: $(x+6)^2 = x \cdot 9x = 9x^2$. Deci $x + 6 = 3x$ (ambele părți pozitive), adică $x = 3$. Numerele devin $3, 9, 27$, cu rația $3$.

## Greșeli frecvente

1. Nu uita cazul $q = 1$: suma devine pur și simplu $S_n = n \cdot b_1$, formula cu fracție nu se aplică.
2. Din $q^2 = 4$ rezultă $q = 2$ sau $q = -2$: alege semnul folosind condițiile din enunț și scrie explicit de ce.
3. La media geometrică, $b^2 = ac$ permite și $b$ negativ; dacă enunțul cere termeni pozitivi, justifică alegerea rădăcinii pozitive.