# Probleme tip BAC cu progresii

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii/probleme-tip-bac-progresii
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii/probleme-tip-bac-progresii.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Șiruri și progresii](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/siruri-si-progresii)
Actualizat: 2026-11-01

Cele patru tipare de subiecte cu progresii aritmetice și geometrice, rezolvate complet.

## Pe scurt pentru BAC

- Regula generală care leagă doi termeni ai unei progresii aritmetice este $a_m = a_n + (m - n) r$.
- Pentru sume folosești $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) n}{2}$ la progresia aritmetică și $S_n = b_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ la cea geometrică.
- Ca să afli câți termeni are o sumă, scrii $a_n$ în funcție de $n$, îl pui în formula sumei și rezolvi ecuația de gradul al doilea în $n$.
- Suma primelor $n$ numere impare este mereu $n^2$.

## Tiparul 1: găsirea rației din doi termeni

Progresie aritmetică cu $a_3 = 7$ și $a_7 = 19$. Din $a_7 = a_3 + 4r$: $19 = 7 + 4r \Rightarrow r = 3$, apoi $a_1 = a_3 - 2r = 1$.

Regula generală: $a_m = a_n + (m - n) r$.

## Tiparul 2: verificarea că trei numere sunt în progresie

1. **aritmetică**: termenul din mijloc e media aritmetică: $b = \dfrac{a + c}{2}$;
2. **geometrică**: termenul din mijloc la pătrat: $b^2 = a \cdot c$ (termeni pozitivi).

**Exemplu.** Determină $x$ dacă $x - 1, \; x + 1, \; 2x + 2$ sunt în progresie geometrică:

$$(x+1)^2 = (x-1)(2x+2) = 2(x-1)(x+1)$$

Pentru $x \ne -1$: $x + 1 = 2x - 2 \Rightarrow x = 3$. Verificare: $2, 4, 8$ cu rația 2 ✓.

## Tiparul 3: sume

Suma aritmetică: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) n}{2}$; suma geometrică: $S_n = b_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.

**Exemplu.** Suma primelor 20 de numere impare: $1 + 3 + \ldots + 39 = \dfrac{(1 + 39) \cdot 20}{2} = 400$. (Frumos: suma primelor $n$ impare e mereu $n^2$.)

**Exemplu geometric.** $1 + 2 + 4 + \ldots + 2^9 = \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023$.

## Tiparul 4: câți termeni are suma

$2 + 5 + 8 + \ldots + x = 155$, progresie cu $a_1 = 2, r = 3$. Din $S_n = \dfrac{(2 + a_n) n}{2} = 155$ și $a_n = 3n - 1$: $\dfrac{(3n + 1) n}{2} = 155 \Rightarrow 3n^2 + n - 310 = 0 \Rightarrow n = 10$ (rădăcina pozitivă). Deci $x = a_{10} = 29$. Verificare: $\dfrac{(2 + 29) \cdot 10}{2} = 155$ ✓.

> [!RETINE]
> Aritmetic = medie aritmetică la mijloc; geometric = media geometrică (pătratul mijlocului). Alege condiția după tipul progresiei, apoi totul devine ecuație.

## Greșeli frecvente

1. $a_n = a_1 + (n-1)r$: cu $n - 1$, nu $n$.
2. La progresia geometrică suma cere $q \ne 1$.
3. Numărul de termeni $n$ trebuie să iasă natural: dacă iese fracționar, ai greșit calculul.