# Forma algebrică a numerelor complexe

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/numere-complexe/forma-algebrica
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/numere-complexe/forma-algebrica.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Numere complexe](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/numere-complexe)
Actualizat: 2026-11-01

Unitatea imaginară, forma a+bi, adunarea și înmulțirea numerelor complexe.

## Pe scurt pentru BAC

- Unitatea imaginară $i$ este definită prin $i^2 = -1$, ca ecuații de tipul $x^2 + 1 = 0$ să aibă soluții.
- Un număr complex se scrie $z = a + bi$, cu partea reală $a = \operatorname{Re} z$ și partea imaginară $b = \operatorname{Im} z$.
- Două numere complexe sunt egale exact când au părțile reale egale și părțile imaginare egale.
- Adunarea se face pe componente, iar înmulțirea ca la binoame: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.

## De ce avem nevoie de numere complexe

Ecuația $x^2 + 1 = 0$ nu are soluții reale, pentru că niciun pătrat de număr real nu este negativ. Introducem **unitatea imaginară** $i$, definită prin:

$$i^2 = -1$$

## Forma algebrică

Un **număr complex** se scrie $z = a + bi$, cu $a, b \in \mathbb{R}$. Numărul $a$ se numește **partea reală** ($\operatorname{Re} z$), iar $b$ **partea imaginară** ($\operatorname{Im} z$). Mulțimea numerelor complexe se notează $\mathbb{C}$.

Două numere complexe sunt egale exact când au părțile reale egale și părțile imaginare egale.

## Operații

**Adunarea și scăderea** se fac pe componente:
$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

**Înmulțirea** se face ca la binoame, folosind $i^2 = -1$:
$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

## Exemple rezolvate

**1.** $(2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i$.

**2.** $(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$.

**3.** Determină $x, y \in \mathbb{R}$ pentru care $x + 2i = 3 + (y - 1)i$.

Egalăm părțile: $x = 3$ și $2 = y - 1$, deci $y = 3$.

## Greșeli frecvente

1. La înmulțire, nu uita că $i^2 = -1$ schimbă semnul termenului $bd$.
2. Partea imaginară este coeficientul $b$, un număr REAL, nu $bi$.
3. $i$ nu este o variabilă: puterile lui se calculează, nu se lasă ca litere.