# Ecuația de gradul al II-lea cu discriminant negativ

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/numere-complexe/ecuatia-de-gradul-doi
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/numere-complexe/ecuatia-de-gradul-doi.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Numere complexe](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/numere-complexe)
Actualizat: 2026-11-01

Rezolvarea ecuațiilor de gradul al II-lea în mulțimea numerelor complexe.

## Pe scurt pentru BAC

- Pentru $az^2 + bz + c = 0$ cu coeficienți reali și $\Delta < 0$ există două soluții complexe conjugate.
- Soluțiile sunt $z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$, unde sub radical stă un număr pozitiv.
- Relațiile lui Viète rămân valabile: $z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}$ și $z_1 z_2 = \dfrac{c}{a}$.
- Poți verifica o soluție înlocuind-o în ecuație, de exemplu $1 + 2i$ în $z^2 - 2z + 5 = 0$.

## Cazul discriminantului negativ

Pentru ecuația $az^2 + bz + c = 0$ cu $a, b, c \in \mathbb{R}$, $a \ne 0$, discriminantul este $\Delta = b^2 - 4ac$.

Când $\Delta < 0$, ecuația nu are soluții reale, dar are două soluții complexe conjugate:

$$z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$

Observă: $\sqrt{-\Delta}$ este radical dintr-un număr POZITIV, iar $i$ preia semnul minus.

## Exemplu rezolvat

Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2 - 2z + 5 = 0$.

$\Delta = 4 - 20 = -16$. Atunci:

$$z_{1,2} = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i.$$

Verificare pentru $z_1 = 1 + 2i$: $z_1^2 = 1 + 4i + 4i^2 = -3 + 4i$, apoi $z_1^2 - 2z_1 + 5 = -3 + 4i - 2 - 4i + 5 = 0$. Corect.

## Relațiile lui Viète rămân valabile

$$z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad z_1 z_2 = \dfrac{c}{a}$$

În exemplul de mai sus: $z_1 + z_2 = 2$ și $z_1 z_2 = (1+2i)(1-2i) = 1 + 4 = 5$. Exact coeficienții ecuației.

## Greșeli frecvente

1. Nu scrie $\sqrt{\Delta}$ când $\Delta < 0$: scrie $i\sqrt{-\Delta}$, cu argument pozitiv sub radical.
2. Soluțiile complexe ale ecuațiilor cu coeficienți reali vin MEREU în perechi conjugate; dacă ale tale nu sunt conjugate, ai greșit.
3. La verificare, calculează $z^2$ atent: $(1+2i)^2 = -3 + 4i$, nu $5 + 4i$.