# Matrici: operații și determinanți de ordin 2

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/matrici-si-determinanti/operatii-cu-matrici
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/matrici-si-determinanti/operatii-cu-matrici.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Matrici și determinanți](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/matrici-si-determinanti)
Actualizat: 2026-11-01

Adunarea, înmulțirea matricilor și determinantul de ordin 2, cu exemple complete.

## Pe scurt pentru BAC

- O matrice are $m$ linii și $n$ coloane, iar elementul $a_{ij}$ stă pe linia $i$ și coloana $j$.
- Adunarea și înmulțirea cu un scalar se fac element cu element, la matrici de aceleași dimensiuni.
- Elementul $(i, j)$ al produsului $A \cdot B$ este suma produselor dintre linia $i$ din $A$ și coloana $j$ din $B$.
- Determinantul de ordin 2 este $ad - bc$, iar pentru matrici cu parametru egalezi $\det A$ cu zero ca să afli când nu sunt inversabile.

## Ce este o matrice

O **matrice** este un tablou dreptunghiular de numere, cu $m$ linii și $n$ coloane. Elementul $a_{ij}$ stă pe linia $i$, coloana $j$. Matricile pătratice au $m = n$.

## Adunarea și înmulțirea cu scalar

Se fac element cu element (matricile trebuie să aibă aceleași dimensiuni):

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$$

## Înmulțirea matricilor

Elementul $(i, j)$ al produsului $A \cdot B$ este suma produselor dintre linia $i$ din $A$ și coloana $j$ din $B$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot0 \\ 3\cdot0+4\cdot1 & 3\cdot1+4\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$

Înmulțirea NU este comutativă: în general $AB \ne BA$.

## Determinantul de ordin 2

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

**Exemplu.** $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2.$

Matricea este **inversabilă** exact când determinantul e nenul.

## Exemplu rezolvat

Determină $x$ astfel încât matricea $A = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ să NU fie inversabilă.

$\det A = 6x - 6 = 0$, deci $x = 1$.

> [!RETINE]
> Determinant zero înseamnă matrice neinversabilă (singulară); determinant nenul înseamnă inversabilă.

## Greșeli frecvente

1. Produsul se face LINIE pe COLOANĂ, nu element cu element.
2. $AB \ne BA$ în general: verifică ordinea cerută de problemă.
3. La determinant, diagonala secundară intră cu MINUS: $ad - bc$, nu $ad + bc$.