# Determinantul de ordin 3 și inversa matricei

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/matrici-si-determinanti/determinant-ordin-3-si-inversa
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/matrici-si-determinanti/determinant-ordin-3-si-inversa.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Matrici și determinanți](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/matrici-si-determinanti)
Actualizat: 2026-11-01

Regula lui Sarrus, matricea adjunctă și calculul inversei.

## Pe scurt pentru BAC

- Regula lui Sarrus: copiezi primele două linii sub determinant, aduni produsele pe diagonalele descendente și le scazi pe cele ascendente.
- Matricea $A$ e inversabilă exact când $\det A \ne 0$, iar $A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot A^*$, cu $A^*$ adjuncta.
- Pentru 2x2: $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
- Determinantul e 0 dacă două linii sunt egale sau proporționale ori dacă o linie are doar zerouri; în plus $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

## Determinantul de ordin 3 (regula lui Sarrus)

Copiezi primele două linii sub determinant, aduni produsele pe diagonalele descendente și scazi produsele pe cele ascendente:

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + dhc + gbf - ceg - fha - ibd$$

**Exemplu.** $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ (liniile sunt în progresie: determinant nul).

**Exemplu 2.** $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 + 0 + 3 - 0 - 0 - 0 = 5$.

## Inversa unei matrice

$A$ e inversabilă $\iff \det A \ne 0$, iar

$$A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \cdot A^*$$

unde $A^*$ e **adjuncta**: transpusa matricei complemenților algebrici.

## Inversa matricei 2x2 (formulă rapidă)

$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Diagonala principală se INVERSEAZĂ, cea secundară își schimbă SEMNUL.

**Exemplu.** $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$: $\det A = 1$, deci $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Verificare: $A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2-1 & -2+2 \\ 1-1 & -1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ ✓

## Proprietăți de calcul rapid al determinanților

1. două linii (coloane) EGALE sau proporționale → determinant 0;
2. o linie întreagă de zerouri → determinant 0;
3. $\det(AB) = \det A \cdot \det B$;
4. factorul comun al unei linii iese în fața determinantului.

> [!RETINE]
> Verifică ORICE inversă prin înmulțire: A · A⁻¹ trebuie să dea matricea unitate. Costă 30 de secunde și prinde orice greșeală de semn.

## Greșeli frecvente

1. La Sarrus, diagonalele ascendente se SCAD, toate trei.
2. La inversa 2x2, minusul e pe diagonala SECUNDARĂ (b și c), nu pe cea principală.
3. $\det(A + B) \ne \det A + \det B$: determinantul NU e aditiv.