# Propoziție, predicat, cuantificatori

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/logica-si-structuri/logica-matematica
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/logica-si-structuri/logica-matematica.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Logică matematică, inele și corpuri](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/logica-si-structuri)
Actualizat: 2026-09-29

Diferența dintre propoziție și predicat, cuantificatorii și negarea lor, operatorii logici.

## Propoziție

O **propoziție** e un enunț care e ori adevărat, ori fals, dar nu ambele.

| Enunț | E propoziție? |
|---|---|
| $2 + 2 = 4$ | da, adevărată |
| $5 < 3$ | da, falsă |
| „Închide ușa" | nu, e un ordin |
| „x + 1 = 3" | nu, depinde de x |

Ultimul caz e important: nu e propoziție, ci **predicat**.

## Predicat

Un **predicat** e un enunț care conține una sau mai multe variabile și devine propoziție când variabilele primesc valori.

Notăm $p(x): x + 1 = 3$. Atunci:
- $p(2)$ e adevărată;
- $p(5)$ e falsă.

Predicatul în sine nu are valoare de adevăr. O capătă doar după ce fixezi variabila sau o cuantifici.

## Cuantificatori

| Simbol | Nume | Se citește |
|---|---|---|
| $\forall$ | cuantificator universal | „oricare ar fi", „pentru orice" |
| $\exists$ | cuantificator existențial | „există cel puțin un" |

Exemple:
- $\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \ge 0$ (adevărată);
- $\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 = -1$ (falsă);
- $\exists x \in \mathbb{C}, \ x^2 = -1$ (adevărată).

Ultimele două arată că valoarea de adevăr depinde de **mulțimea** pe care cuantifici.

## Negarea cuantificatorilor

Regula cerută la examen:

$$\overline{\forall x, \ p(x)} \equiv \exists x, \ \overline{p(x)}$$
$$\overline{\exists x, \ p(x)} \equiv \forall x, \ \overline{p(x)}$$

În cuvinte: **negarea lui „toți" nu e „niciunul", ci „există cel puțin unul care nu".**

Exemplu: negarea propoziției „toți elevii au luat nota 10" nu e „niciun elev nu a luat 10", ci „există cel puțin un elev care nu a luat 10".

E greșeala cea mai frecventă din capitol.

## Operatori logici

| Operator | Simbol | Adevărat când |
|---|---|---|
| negația | $\overline{p}$ | p e falsă |
| conjuncția | $p \wedge q$ | ambele sunt adevărate |
| disjuncția | $p \vee q$ | cel puțin una e adevărată |
| implicația | $p \rightarrow q$ | e falsă doar când p e adevărată și q falsă |
| echivalența | $p \leftrightarrow q$ | ambele au aceeași valoare |

**Implicația** e cea care surprinde: dacă ipoteza e falsă, implicația e adevărată indiferent de concluzie. Din fals urmează orice.

> [!RETINE]
> Propoziția este fie adevărată, fie falsă; predicatul devine propoziție abia după ce fixezi sau cuantifici variabila. Negarea: $\overline{\forall x, \ p(x)} \equiv \exists x, \ \overline{p(x)}$ și $\overline{\exists x, \ p(x)} \equiv \forall x, \ \overline{p(x)}$. Implicația $p \rightarrow q$ este falsă doar când $p$ este adevărată și $q$ falsă.

## Greșeli frecvente

1. Se neagă „toți" prin „niciunul".
2. Se tratează un predicat ca pe o propoziție, deși nu are valoare de adevăr până nu fixezi variabila.
3. Se uită că implicația cu ipoteză falsă e adevărată.
4. Se schimbă ordinea cuantificatorilor. $\forall x \exists y$ nu înseamnă același lucru cu $\exists y \forall x$.