# Inele, corpuri, morfisme

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/logica-si-structuri/inele-si-corpuri
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/logica-si-structuri/inele-si-corpuri.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Logică matematică, inele și corpuri](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/logica-si-structuri)
Actualizat: 2026-09-29

De la grup la inel și corp, cu exemple, divizori ai lui zero, morfisme și izomorfisme.

## De la grup la inel

Un **grup** $(G, *)$ cere patru condiții: parte stabilă, asociativitate, element neutru, element simetrizabil pentru orice element. Dacă în plus operația e comutativă, grupul e **abelian**.

Un **inel** are **două** operații, notate de obicei $+$ și $\cdot$.

$(A, +, \cdot)$ e inel dacă:
1. $(A, +)$ e grup **abelian**;
2. $\cdot$ e asociativă;
3. $\cdot$ e **distributivă** față de $+$.

Dacă înmulțirea are element neutru, inelul e **unitar**. Dacă e și comutativă, inelul e **comutativ**.

## Corp

Un **corp** e un inel unitar în care **orice element nenul** e inversabil.

Cu alte cuvinte: la corp poți împărți cu orice, în afară de zero.

| Structură | Ce se cere |
|---|---|
| Grup | o operație, cu cele patru condiții |
| Inel | două operații, grup abelian la prima, distributivitate |
| Corp | inel unitar în care orice element nenul are invers |

## Exemple

| Mulțime | Structura |
|---|---|
| $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ | inel comutativ unitar, **nu** corp (2 nu are invers întreg) |
| $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ | corp comutativ |
| $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ | corp comutativ |
| $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ | corp comutativ |
| $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ | inel; e **corp** exact când $n$ e prim |
| matrice pătratice | inel unitar **necomutativ** |

Exemplul cu $\mathbb{Z}$ e cel mai util: arată limpede că un inel nu e automat corp.

Cazul $\mathbb{Z}_n$ e cerut frecvent. În $\mathbb{Z}_6$, elementul $2$ nu are invers, pentru că $6$ nu e prim. În $\mathbb{Z}_5$ toate elementele nenule au invers, deci e corp.

## Divizori ai lui zero

Într-un inel pot exista elemente nenule al căror produs e zero. În $\mathbb{Z}_6$: $2 \cdot 3 = 6 = \hat{0}$, deși nici $2$, nici $3$ nu sunt zero.

Un inel **fără divizori ai lui zero**, comutativ și unitar, se numește **domeniu de integritate**. Orice corp e domeniu de integritate.

## Morfisme

Un **morfism de inele** $f : A \to B$ păstrează ambele operații:

$$f(x + y) = f(x) + f(y), \qquad f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$$

La inele unitare se cere în plus $f(1_A) = 1_B$.

Pentru **grupuri**, condiția e una singură: $f(x * y) = f(x) \circ f(y)$.

Un morfism **bijectiv** se numește **izomorfism**. Două structuri izomorfe se comportă identic: tot ce demonstrezi pentru una e adevărat și pentru cealaltă, doar cu alte nume.

## Proprietăți ale morfismelor de grupuri

- $f(e_G) = e_H$, adică neutrul merge în neutru;
- $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$;
- imaginea unui subgrup e subgrup.

> [!RETINE]
> Inel: $(A, +)$ grup abelian, înmulțirea asociativă și distributivă față de adunare. Corp: inel unitar în care orice element nenul este inversabil. $\mathbb{Z}$ este inel, dar nu corp; $\mathbb{Z}_n$ este corp exact când $n$ este prim. Morfismul de inele păstrează ambele operații, iar izomorfismul este un morfism bijectiv.

## Greșeli frecvente

1. Se spune că orice inel e corp. $\mathbb{Z}$ e contraexemplul de reținut.
2. Se uită că $\mathbb{Z}_n$ e corp **doar** când $n$ e prim.
3. Se verifică doar o operație la morfismul de inele. Trebuie verificate **amândouă**.
4. Se confundă morfismul cu izomorfismul. Izomorfismul e morfism **bijectiv**.