# Primitive și integrala nedefinită

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/integrale/primitive-si-integrala-nedefinita
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/integrale/primitive-si-integrala-nedefinita.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Integrale și aplicații](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/integrale)
Actualizat: 2026-11-01

Noțiunea de primitivă, tabelul integralelor uzuale și calculul integralelor simple.

## Pe scurt pentru BAC

- $F$ este primitivă a lui $f$ pe un interval dacă $F' = f$, iar integrala nedefinită este $F(x) + C$.
- Constanta $C$ apare pentru că derivata oricărei constante este zero.
- Integrale uzuale: $\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ pentru $n \ne -1$, $\int \dfrac{1}{x} dx = \ln |x| + C$, $\int e^x dx = e^x + C$.
- Primitiva care trece printr-un punct dat se află înlocuind coordonatele punctului și calculând constanta $C$.

## Ce este o primitivă

$F$ este o **primitivă** a lui $f$ pe un interval dacă $F' = f$. Mulțimea tuturor primitivelor este **integrala nedefinită**:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

Constanta $C$ apare pentru că derivata oricărei constante e zero.

## Tabelul integralelor uzuale

| $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ |
|---|---|
| $x^n$, $n \ne -1$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln \lvert x \rvert + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |

## Liniaritatea

$$\int (f + g) = \int f + \int g, \qquad \int c f = c \int f$$

## Exemple rezolvate

**1.** $\displaystyle\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C$. Verificare: $(x^2 + x)' = 2x + 1$. ✓

**2.** $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$.

**3.** $\displaystyle\int \left(e^x + \dfrac{2}{x}\right) dx = e^x + 2 \ln \lvert x \rvert + C$.

**4.** Găsește primitiva lui $f(x) = 2x$ care trece prin punctul $(1, 5)$.

$F(x) = x^2 + C$; din $F(1) = 5$ rezultă $1 + C = 5$, deci $C = 4$ și $F(x) = x^2 + 4$.

> [!RETINE]
> Integrarea e operația inversă derivării: poți verifica ORICE integrală derivând rezultatul. La BAC, verificarea prin derivare previne greșelile de calcul.

## Greșeli frecvente

1. Nu uita constanta $C$ la integrala nedefinită; la BAC se punctează.
2. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$, cu minus (invers decât la derivare).
3. Formula puterii NU merge pentru $n = -1$: acolo apare logaritmul.