# Integrala definită și calculul ariilor

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/integrale/integrala-definita-si-aria
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/integrale/integrala-definita-si-aria.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Integrale și aplicații](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/integrale)
Actualizat: 2026-11-01

Formula Leibniz-Newton, proprietățile integralei definite și aria subgraficului.

## Pe scurt pentru BAC

- Formula Leibniz-Newton: $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$.
- Integrala definită este liniară și aditivă la interval: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.
- Pentru $f$ continuă și pozitivă pe $[a, b]$, aria subgraficului este $\int_a^b f(x) \, dx$; în general aria este $\int_a^b |f(x)| dx$.
- Aria dintre două grafice este $\int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx$, unde $f \ge g$ pe $[a,b]$.

## Formula Leibniz-Newton

Dacă $F$ e o primitivă a lui $f$ pe $[a, b]$:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

## Exemple rezolvate

**1.** $\displaystyle\int_0^1 x^2 \, dx = \left. \dfrac{x^3}{3} \right|_0^1 = \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3}$.

**2.** $\displaystyle\int_1^2 (2x + 1) \, dx = \left. (x^2 + x) \right|_1^2 = 6 - 2 = 4$.

**3.** $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_0^{\pi} = 1 + 1 = 2$.

## Proprietăți utile

$$\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g, \qquad \int_a^b c f = c \int_a^b f$$
$$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \quad (\text{aditivitatea la interval})$$

## Aria subgraficului

Pentru $f$ CONTINUĂ și POZITIVĂ pe $[a, b]$, aria mulțimii cuprinse între grafic, axa $Ox$ și dreptele $x = a$, $x = b$:

$$\mathcal{A} = \int_a^b f(x) \, dx$$

**Exemplu.** Aria subgraficului lui $f(x) = x^2$ pe $[0, 1]$ este $\dfrac{1}{3}$ (calculată mai sus).

Dacă $f$ e negativă pe interval, aria e $-\int_a^b f$; în general $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$.

## Aria dintre două grafice

$$\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx \quad \text{unde } f \ge g \text{ pe } [a,b]$$

**Exemplu.** Aria dintre $f(x) = x$ și $g(x) = x^2$ pe $[0, 1]$: $\displaystyle\int_0^1 (x - x^2) dx = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.

> [!RETINE]
> La integrala definită constanta C dispare (se reduce în F(b) - F(a)); scrie direct primitiva fără C.

## Greșeli frecvente

1. Ordinea în Leibniz-Newton: $F(b) - F(a)$, nu invers; inversarea schimbă semnul.
2. Aria e mereu POZITIVĂ: dacă integrala iese negativă, funcția era negativă pe interval, ia modulul.
3. La aria dintre grafice, verifică ÎNTÂI care funcție e deasupra.