# Inducția matematică

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/inductie-si-aplicatii-integrale/inductia-matematica
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/inductie-si-aplicatii-integrale/inductia-matematica.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Inducție matematică și aplicații ale integralei](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/inductie-si-aplicatii-integrale)
Actualizat: 2026-09-22

Principiul, cele două etape, exemple rezolvate și formulele de sume uzuale.

## Principiul inducției matematice

Servește la demonstrarea unei propoziții $P(n)$ pentru **toate** numerele naturale $n \ge n_0$.

Ideea: dacă poți urca pe prima treaptă, și dacă de pe orice treaptă poți urca pe următoarea, atunci ajungi pe orice treaptă.

## Cele două etape

**1. Verificarea (baza)**: arăți că $P(n_0)$ e adevărată. De obicei $n_0 = 1$.

**2. Pasul inductiv**: presupui că $P(k)$ e adevărată pentru un $k \ge n_0$ oarecare (ipoteza de inducție) și demonstrezi că atunci și $P(k+1)$ e adevărată.

Dacă ambele reușesc, $P(n)$ e adevărată pentru orice $n \ge n_0$.

Ambele etape sunt obligatorii. Fără verificare, pasul inductiv nu are de unde porni.

## Exemplu rezolvat

Demonstrează că $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

**Verificare** pentru $n = 1$: membrul stâng e 1, membrul drept e $\dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$. Adevărat.

**Pas inductiv**: presupunem $1 + 2 + \dots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$.

Adăugăm $k+1$ în ambii membri:

$$1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$$

Dăm factor comun $(k+1)$:

$$= (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = (k+1) \cdot \frac{k+2}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Exact formula pentru $n = k+1$. Demonstrația e încheiată.

## Al doilea exemplu

Demonstrează că $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Verificare pentru $n=1$: stânga 1, dreapta $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$. Adevărat.

Pas inductiv: adăugăm $(k+1)^2$ la ipoteză și trebuie să obținem $\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$. Se dă factor comun $\dfrac{k+1}{6}$ și rămâne de verificat că $k(2k+1) + 6(k+1) = (k+2)(2k+3)$, adică $2k^2 + 7k + 6$ în ambii membri.

## Formule utile

$$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
$$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$$1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Ultima are o consecință elegantă: suma cuburilor e pătratul sumei numerelor.

> [!RETINE]
> Ipoteza de inducție nu se demonstrează, se **presupune**. Greșeala tipică e să încerci să o dovedești, ceea ce ar însemna să demonstrezi chiar concluzia.

## Greșeli frecvente

1. Se sare peste verificarea inițială.
2. Se presupune $P(n)$ pentru **toate** valorile, ceea ce echivalează cu a presupune concluzia. Se presupune doar pentru un $k$ fixat.
3. Se verifică pentru câteva valori și se trage concluzia generală. Verificarea a zece cazuri nu e demonstrație.