# Arii și volume cu ajutorul integralei

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/inductie-si-aplicatii-integrale/arii-si-volume
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/inductie-si-aplicatii-integrale/arii-si-volume.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Inducție matematică și aplicații ale integralei](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/inductie-si-aplicatii-integrale)
Actualizat: 2026-09-22

Aria subgraficului, aria dintre două curbe și volumul corpului de rotație.

## Aria subgraficului

Dacă $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ e continuă și **pozitivă**, aria dintre grafic și axa $Ox$ este:

$$\mathcal{A} = \int_a^b f(x)\,dx$$

Exemplu: aria subgraficului lui $f(x) = x^2$ pe $[0,2]$:

$$\int_0^2 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\bigg|_0^2 = \frac{8}{3}$$

## Când funcția e negativă

Integrala unei funcții negative dă un număr negativ, dar aria e mereu pozitivă. În acest caz:

$$\mathcal{A} = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| = \int_a^b |f(x)|\,dx$$

Dacă funcția **schimbă semnul** pe intervalul dat, integrala se rupe în bucăți, la rădăcini, și se ia modulul pe fiecare.

Pentru $f(x) = x$ pe $[-1,1]$: integrala e 0, pentru că bucățile se anulează, dar aria e $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.

## Aria dintre două curbe

Dacă $f(x) \ge g(x)$ pe $[a,b]$:

$$\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx$$

Se scade mereu funcția de jos din cea de sus. Limitele $a$ și $b$ sunt de regulă abscisele punctelor de intersecție, obținute rezolvând $f(x) = g(x)$.

Exemplu: aria dintre $f(x) = x$ și $g(x) = x^2$. Intersecțiile: $x = x^2$, deci $x \in \{0, 1\}$. Pe $[0,1]$, $x \ge x^2$, deci:

$$\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\bigg|_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

## Volumul corpului de rotație

Rotind subgraficul lui $f$ în jurul axei $Ox$ se obține un corp cu volumul:

$$V = \pi \int_a^b f^2(x)\,dx$$

Atenție: funcția se ridică **la pătrat**, iar $\pi$ nu se uită. Sunt cele două greșeli cele mai frecvente.

Exemplu: $f(x) = x$ pe $[0, h]$ generează un con:

$$V = \pi \int_0^h x^2\,dx = \pi \cdot \frac{h^3}{3}$$

Verificare cu formula cunoscută a conului, $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$: aici raza la capăt e $R = h$, deci $\dfrac{\pi h^2 \cdot h}{3} = \dfrac{\pi h^3}{3}$. Coincide.

## Verificare cu sfera

Sfera de rază $R$ se obține rotind $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ pe $[-R, R]$:

$$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx = \pi \left(R^2 x - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{-R}^{R} = \pi \cdot \frac{4R^3}{3}$$

Adică exact $\dfrac{4\pi R^3}{3}$, formula cunoscută. Faptul că integrala reproduce formulele din geometrie e o bună verificare a metodei.

> [!RETINE]
> Aria folosește $f$, volumul folosește $\pi f^2$. Dacă rezultatul unui volum nu conține $\pi$, aproape sigur ai uitat constanta.

## Greșeli frecvente

1. Se calculează aria fără modul când funcția e negativă, și rezultă o arie negativă.
2. Se uită să se ridice funcția la pătrat la volum.
3. Se uită $\pi$.
4. La aria dintre curbe se scade invers, de unde rezultat negativ. Se scade funcția de jos din cea de sus.