# Produsul scalar a doi vectori

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala/produsul-scalar
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala/produsul-scalar.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Geometrie vectorială](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala)
Actualizat: 2026-11-01

Definiția cu cosinus, formula pe coordonate și testul de perpendicularitate.

## Pe scurt pentru BAC

- Produsul scalar este numărul real $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$, unde $\theta$ e unghiul dintre vectori.
- Pe coordonate, produsul scalar este $x_1 x_2 + y_1 y_2$.
- Doi vectori nenuli sunt perpendiculari exact când produsul lor scalar este $0$.
- Produsul unui vector cu el însuși dă pătratul modulului, $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$, iar din definiție afli $\cos\theta$.

## Definiție

**Produsul scalar** al vectorilor $\vec{u}$ și $\vec{v}$ este numărul real:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$$

unde $\theta$ este unghiul dintre ei. Rezultatul este un NUMĂR, nu un vector.

## Formula pe coordonate

Pentru $\vec{u}(x_1, y_1)$ și $\vec{v}(x_2, y_2)$:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

## Consecințe esențiale

**Perpendicularitate:** $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (pentru vectori nenuli).

**Modulul prin produs scalar:** $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$.

**Unghiul dintre vectori:**
$$\cos\theta = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$$

## Exemple rezolvate

**1.** $\vec{u}(2, 3)$ și $\vec{v}(3, -2)$: produsul scalar este $2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 0$, deci vectorii sunt perpendiculari.

**2.** Determină $m$ astfel încât $\vec{a}(m, 2)$ și $\vec{b}(3, -6)$ să fie perpendiculari.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3m - 12 = 0$, deci $m = 4$.

**3.** Calculează unghiul dintre $\vec{u}(1, 0)$ și $\vec{v}(1, 1)$.

$\cos\theta = \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\theta = \dfrac{\pi}{4}$.

## Greșeli frecvente

1. Produsul scalar dă un număr; scrierea $\vec{u} \cdot \vec{v} = (\dots, \dots)$ este greșită din start.
2. Perpendicularitatea se testează cu produsul scalar ZERO, nu cu pante (vectorii pot fi verticali).
3. În formula unghiului, numitorul conține modulele, fiecare cu radicalul lui: nu aduna sub același radical.