# Vectori: noțiuni fundamentale și adunarea

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala/notiunea-de-vector
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala/notiunea-de-vector.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Geometrie vectorială](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala)
Actualizat: 2026-11-01

Direcție, sens și vector: figurile esențiale, exploratorul interactiv al sensurilor și egalitatea vectorilor.

## Pe scurt pentru BAC

- Direcția unei drepte este formată din dreapta respectivă și toate paralelele ei; pe o direcție există exact două sensuri opuse.
- Vectorul $\vec{AB}$ este un segment orientat cu origine $A$, extremitate $B$, direcție, sens de la $A$ spre $B$ și modul $AB$.
- Doi vectori sunt egali dacă au aceeași direcție, același sens și același modul.
- Vectorul nul are modulul $0$, iar opusul lui $\vec{AB}$ are aceeași direcție și același modul, dar sens contrar.

## Direcția

Fie $d$ o dreaptă în plan. Mulțimea formată din dreapta $d$ și toate dreptele paralele cu ea se numește **direcția dreptei $d$**.

```figure
{
  "height": 220,
  "caption": "Dreapta d și toate paralelele ei formează o singură direcție. Oricare dintre ele ar fi aleasă ca reprezentant, direcția este aceeași.",
  "items": [
    { "t": "line", "x1": 40, "y1": 60, "x2": 360, "y2": 20, "color": "muted", "dash": true },
    { "t": "line", "x1": 30, "y1": 130, "x2": 370, "y2": 88, "color": "accent", "w": 3 },
    { "t": "line", "x1": 40, "y1": 190, "x2": 360, "y2": 150, "color": "muted", "dash": true },
    { "t": "label", "x": 372, "y": 92, "text": "d", "color": "accent" },
    { "t": "label", "x": 364, "y": 24, "text": "d1", "color": "muted" },
    { "t": "label", "x": 364, "y": 154, "text": "d2", "color": "muted" }
  ]
}
```

Două drepte au aceeași direcție dacă și numai dacă sunt paralele sau coincid.

## Sensul

Pe o direcție dată există exact **două sensuri** de parcurgere, opuse unul altuia. Sensul se vizualizează cel mai bine cu semidrepte: două semidrepte cu dreptele suport paralele (sau identice) au fie același sens, fie sensuri opuse.

> [!ATENTIE]
> Sensurile se compară DOAR pentru semidrepte cu aceeași direcție. Pentru drepte neparalele, întrebarea "au același sens?" nu are înțeles.

Explorează cele patru situații posibile:

```explorer
{ "type": "sense-explorer" }
```

## Ce este un vector

Un **vector** $\vec{AB}$ este un segment orientat, determinat de:

1. **origine**: punctul $A$;
2. **extremitate**: punctul $B$;
3. **direcție**: dreapta suport $AB$ (împreună cu toate paralelele ei);
4. **sens**: de la $A$ spre $B$;
5. **modul** (lungime): $|\vec{AB}| = AB \ge 0$.

```figure
{
  "height": 210,
  "grid": true,
  "caption": "Vectorul AB pornește din origine (A) și indică spre extremitate (B); săgeata arată sensul.",
  "items": [
    { "t": "vector", "x1": 90, "y1": 150, "x2": 300, "y2": 70, "color": "accent" },
    { "t": "point", "x": 90, "y": 150, "color": "red", "label": "A", "dx": -18, "dy": 6 },
    { "t": "point", "x": 300, "y": 70, "color": "green", "label": "B", "dx": 10, "dy": -4 },
    { "t": "label", "x": 185, "y": 96, "text": "AB", "color": "accent" }
  ]
}
```

## Egalitatea vectorilor

Doi vectori sunt **egali** dacă au aceeași direcție, același sens și același modul. Punctul de aplicație NU contează: același vector poate porni de oriunde.

**Vectorul nul** $\vec{0}$ are modulul $0$ (originea coincide cu extremitatea). **Opusul** lui $\vec{AB}$ este $\vec{BA} = -\vec{AB}$: aceeași direcție și modul, sens contrar.

## Exemplu rezolvat

În paralelogramul $ABCD$ (vârfuri în această ordine), ce relații există între $\vec{AB}$ și $\vec{DC}$, respectiv $\vec{AD}$ și $\vec{CB}$?

Laturile $AB$ și $DC$ sunt paralele și egale, iar sensurile de la $A$ la $B$ și de la $D$ la $C$ coincid, deci $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Pentru celelalte: $AD \parallel BC$ și $AD = BC$, dar sensurile de la $A$ la $D$ și de la $C$ la $B$ sunt CONTRARE, deci $\vec{AD} = -\vec{CB}$, adică $\vec{AD} = \vec{BC}$.

> [!RETINE]
> Într-un paralelogram $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC}$ și $\vec{AD} = \vec{BC}$. Ordinea literelor dă sensul; inversarea literelor schimbă semnul.

## Greșeli frecvente

1. Egalitatea vectorilor nu cere același punct de pornire: $\vec{AB} = \vec{DC}$ chiar dacă pornesc din puncte diferite.
2. $\vec{AB}$ și $\vec{BA}$ NU sunt egali: au sensuri opuse, deci $\vec{BA} = -\vec{AB}$.
3. Direcția și sensul sunt noțiuni diferite: întâi verifici direcția (paralelism), abia apoi compari sensurile.