# Coordonatele unui vector. Modulul

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala/coordonate-si-modul
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala/coordonate-si-modul.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Geometrie vectorială](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-vectoriala)
Actualizat: 2026-11-01

Descompunerea în reper cartezian, coordonatele unui vector determinat de două puncte și calculul modulului.

## Pe scurt pentru BAC

- Orice vector se descompune unic după versorii $\vec{i}$ și $\vec{j}$: $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$, iar $x, y$ sunt coordonatele lui.
- Modulul vectorului $\vec{u}(x, y)$ este $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
- Pentru $A(1, 2)$ și $B(4, 6)$ obții $\vec{AB} = (3, 4)$, deci $|\vec{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
- Adunarea și înmulțirea cu un scalar se fac pe coordonate, iar $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt coliniari dacă există $\alpha$ cu $\vec{v} = \alpha \vec{u}$.

## Reperul și versorii

În reperul cartezian $xOy$ folosim **versorii** $\vec{i}$ (pe $Ox$) și $\vec{j}$ (pe $Oy$), vectori de modul 1. Orice vector se **descompune unic**:

$$\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$$

Numerele $x, y$ sunt **coordonatele** vectorului și scriem $\vec{u}(x, y)$.

## Vectorul determinat de două puncte

Pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$:

$$\vec{AB} = (x_B - x_A)\vec{i} + (y_B - y_A)\vec{j}$$

Coordonatele vectorului sunt "vârf minus origine".

## Modulul

$$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Exemplu: $\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j}$ are $|\vec{u}| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

## Operații pe coordonate

$$\vec{u}(x_1, y_1) + \vec{v}(x_2, y_2) = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2), \qquad \alpha\vec{u} = (\alpha x_1, \; \alpha y_1)$$

**Coliniaritate:** $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt coliniari dacă există $\alpha$ cu $\vec{v} = \alpha \vec{u}$, echivalent $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.

## Exemplu rezolvat

Fie $A(1, 2)$, $B(4, 6)$. Determină coordonatele și modulul lui $\vec{AB}$, apoi verifică dacă $\vec{u}(6, 8)$ este coliniar cu $\vec{AB}$.

$\vec{AB} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$, deci $|\vec{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Coliniaritate: $3 \cdot 8 - 6 \cdot 4 = 24 - 24 = 0$, deci da, $\vec{u} = 2\vec{AB}$.

## Greșeli frecvente

1. La $\vec{AB}$ se scade ORIGINEA din vârf: $(x_B - x_A)$, nu invers.
2. Nu confunda coordonatele unui punct cu ale unui vector: punctul e o poziție, vectorul o deplasare.
3. Condiția de coliniaritate este anularea "determinantului" $x_1 y_2 - x_2 y_1$, nu egalitatea coordonatelor.