# Reperul cartezian. Coordonatele unui punct

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-analitica/reperul-cartezian
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-analitica/reperul-cartezian.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Geometrie analitică](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/geometrie-analitica)
Actualizat: 2026-11-01

Axele, coordonatele, distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment, cu exemple rezolvate.

## Pe scurt pentru BAC

- Reperul cartezian are axa absciselor $Ox$ (orizontală) și axa ordonatelor $Oy$ (verticală), perpendiculare în originea $O$.
- Formula distanței dintre două puncte este teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul dreptunghic cu catetele paralele cu axele.
- Pentru $A(1, 2)$ și $B(4, 6)$ obții $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$, iar mijlocul segmentului este $M\left(\dfrac{5}{2}, 4\right)$.
- Orice punct din plan este identificat de perechea de coordonate $A(x_A, y_A)$: abscisa $x_A$ și ordonata $y_A$.

## Reperul cartezian

Un **reper cartezian** în plan este format din două axe perpendiculare: axa $Ox$ (orizontală, a absciselor) și axa $Oy$ (verticală, a ordonatelor), care se intersectează în originea $O$. Orice punct $A$ din plan este identificat de perechea de coordonate $A(x_A, y_A)$.

## Distanța dintre două puncte

Pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$:

$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Formula este exact teorema lui Pitagora aplicată pe triunghiul dreptunghic cu catetele paralele cu axele.

## Mijlocul unui segment

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are coordonatele:

$$M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$$

## Exemple rezolvate

**1.** Fie $A(1, 2)$ și $B(4, 6)$. Calculează $AB$ și coordonatele mijlocului lui $AB$.

$$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Mijlocul: $M\left(\dfrac{1+4}{2}, \dfrac{2+6}{2}\right) = M\left(\dfrac{5}{2}, 4\right)$.

**2.** Determină $a \in \mathbb{R}$ știind că punctele $A(2, a)$ și $B(5, 1)$ se află la distanța $5$.

$$AB^2 = (5-2)^2 + (1-a)^2 = 9 + (1-a)^2 = 25 \Rightarrow (1-a)^2 = 16.$$

Deci $1 - a = \pm 4$, adică $a = -3$ sau $a = 5$.

**3.** Punctul $M(3, 1)$ este mijlocul segmentului $AB$, unde $A(1, -2)$. Află coordonatele lui $B$.

Din formulele mijlocului: $x_B = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ și $y_B = 2 \cdot 1 - (-2) = 4$. Deci $B(5, 4)$.

> [!RETINE]
> $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, iar mijlocul este $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$. Dacă știi mijlocul și un capăt, celălalt capăt are $x_B = 2x_M - x_A$ și $y_B = 2y_M - y_A$.

## Greșeli frecvente

1. În formula distanței, diferențele se ridică la pătrat SEPARAT; nu aduna întâi coordonatele.
2. Distanța e întotdeauna pozitivă; dacă obții ecuație cu pătrate, nu pierde a doua soluție (ca $a = -3$ mai sus).
3. Nu inversa ordinea axelor: prima coordonată e pe orizontală ($x$), a doua pe verticală ($y$).