# Compunerea funcțiilor

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/functii-partea-i/compunerea-functiilor
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/functii-partea-i/compunerea-functiilor.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Funcții, partea I](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/functii-partea-i)
Actualizat: 2026-11-01

Definiția compusei g∘f, de ce ordinea contează, asociativitatea și funcția identică, cu explorator interactiv.

## Pe scurt pentru BAC

- Pentru $f : A \to B$ și $g : B \to C$, compusa este $(g \circ f)(x) = g(f(x))$: se aplică întâi $f$, apoi $g$.
- Compunerea are sens doar dacă imaginea lui $f$ este inclusă în domeniul de definiție al lui $g$.
- În general $g \circ f \ne f \circ g$: pentru $f(x) = x + 3$ și $g(x) = x^2$ obții $(x + 3)^2$, respectiv $x^2 + 3$.
- Pentru $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = x^2 + 1$ obții $(g \circ f)(x) = 4x^2 - 4x + 2$ și $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 1$.

## Ideea compunerii

Uneori aplicăm două funcții una după alta: rezultatul primei devine argumentul celei de-a doua. Această înlănțuire se numește **compunerea funcțiilor**.

## Definiție

Fie funcțiile $f : A \to B$ și $g : B \to C$. **Compusa** lui $g$ cu $f$ este funcția:

$$g \circ f : A \to C, \qquad (g \circ f)(x) = g(f(x))$$

Se citește "$g$ compus cu $f$" și se aplică DE LA DREAPTA LA STÂNGA: întâi $f$, apoi $g$.

> [!ATENTIE]
> Condiția esențială: valorile lui $f$ trebuie să poată intra în $g$. Riguros, imaginea lui $f$ trebuie inclusă în domeniul de definiție al lui $g$.

## Ordinea contează

În general:

$$g \circ f \ne f \circ g$$

Exemplu: pentru $f(x) = x + 3$ și $g(x) = x^2$:

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (x + 3)^2, \qquad (f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^2 + 3$$

Verificare în $x = 2$: $(g \circ f)(2) = 25$, dar $(f \circ g)(2) = 7$. Compunerea NU este comutativă.

## Proprietăți

1. **Asociativitate:** $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$, deci putem scrie $h \circ g \circ f$ fără paranteze.
2. **Element neutru:** funcția identică $1_A(x) = x$ satisface $f \circ 1_A = f$ și $1_B \circ f = f$.

> [!RETINE]
> Compunerea este asociativă și are element neutru (funcția identică), dar nu este comutativă. Alege funcția identică în exploratorul de mai jos și observă că rezultatul rămâne neschimbat.

## Exemplu rezolvat

Fie $f(x) = 2x - 1$ și $g(x) = x^2 + 1$. Calculează $(g \circ f)(x)$ și $(f \circ g)(x)$.

$$(g \circ f)(x) = g(2x - 1) = (2x - 1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2$$

$$(f \circ g)(x) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 1$$

Verificare în $x = 1$: $(g \circ f)(1) = 1 + 1 = 2$ și direct $g(f(1)) = g(1) = 2$. Corect.

## Greșeli frecvente

1. $(g \circ f)(x)$ înseamnă $g(f(x))$: prima funcție aplicată este cea din DREAPTA.
2. La calcul, înlocuiește TOT argumentul: $g(2x-1)$ cere $(2x-1)^2$, cu paranteze, nu $2x - 1^2$.
3. Nu confunda compunerea $g \circ f$ cu produsul $g \cdot f$: sunt operații complet diferite.

Explorează mai jos: alege $f$ și $g$, schimbă valoarea lui $x$ și apasă "inversează ordinea" ca să vezi de ce compunerea nu este comutativă.