# Ecuații iraționale și ecuații cu modul

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/functii-elementare/ecuatii-irationale-si-cu-modul
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/functii-elementare/ecuatii-irationale-si-cu-modul.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Funcții elementare](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/functii-elementare)
Actualizat: 2026-11-01

Condițiile de existență, ridicarea la pătrat și cele două cazuri ale modulului.

## Pe scurt pentru BAC

- Ridicarea la pătrat poate introduce soluții false, deci verificarea fiecărei soluții face parte din rezolvare.
- Definiția modulului: $|a| = a$ dacă $a \ge 0$ și $|a| = -a$ dacă $a < 0$.
- O soluție obținută după ridicarea la pătrat se elimină dacă nu respectă condiția $g(x) \ge 0$, ca $x = -3$ la $\sqrt{x + 7} = x + 1$.
- La $|x - 3| = |x + 1|$ poți gândi cu distanțe: $x$ e la mijloc între 3 și -1, deci $x = 1$.

## Ecuații iraționale (cu radical)

Pașii obligatorii pentru $\sqrt{f(x)} = g(x)$:

1. **Condiții**: $f(x) \ge 0$ și $g(x) \ge 0$ (radicalul e nenegativ);
2. Ridici la pătrat: $f(x) = g(x)^2$;
3. Rezolvi și VERIFICI soluțiile în condiții.

**Exemplu.** $\sqrt{x + 2} = 3$: condiție $x \ge -2$; ridic la pătrat: $x + 2 = 9 \Rightarrow x = 7$. Verificare: $\sqrt{9} = 3$ ✓.

**Exemplu cu capcană.** $\sqrt{x + 7} = x + 1$: condiții $x \ge -7$ și $x \ge -1$. Pătrat: $x + 7 = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ sau $x = -3$. Dar $x = -3$ NU respectă $x \ge -1$: se ELIMINĂ. Soluția: $x = 2$. Verificare: $\sqrt{9} = 3 = 2 + 1$ ✓.

## Ecuații cu modul

Definiția modulului: $|a| = a$ dacă $a \ge 0$, $|a| = -a$ dacă $a < 0$.

Pentru $|f(x)| = c$ cu $c > 0$: două cazuri, $f(x) = c$ sau $f(x) = -c$.

**Exemplu.** $|2x - 1| = 5$: $2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$ sau $2x - 1 = -5 \Rightarrow x = -2$. Ambele valide.

**Exemplu 2.** $|x - 3| = |x + 1|$: distanțe egale față de 3 și -1, deci $x$ e la mijloc: $x = 1$. (Sau: cazuri / ridicare la pătrat.)

Cazuri speciale: $|f(x)| = 0 \iff f(x) = 0$; $|f(x)| = c < 0$ nu are soluții.

> [!ATENTIE]
> Ridicarea la pătrat poate INTRODUCE soluții false: verificarea finală în ecuația inițială e parte din rezolvare, nu opțională.

> [!RETINE]
> La $\sqrt{f(x)} = g(x)$: condițiile $f(x) \ge 0$ și $g(x) \ge 0$, ridicarea la pătrat, apoi verificarea fiecărei soluții. La $|f(x)| = c$: două cazuri dacă $c > 0$, doar $f(x) = 0$ dacă $c = 0$, nicio soluție dacă $c < 0$. Și nu uita: $\sqrt{x^2} = |x|$.

## Greșeli frecvente

1. Uitarea condiției $g(x) \ge 0$: $\sqrt{x} = -2$ nu are soluții, oricât ar "ieși" la pătrat.
2. $|x| = 5$ are DOUĂ soluții: nu uita cazul negativ.
3. $\sqrt{x^2} = |x|$, nu $x$.