# Aplicațiile derivatei: monotonie și extreme

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/derivate/monotonie-si-puncte-de-extrem
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/derivate/monotonie-si-puncte-de-extrem.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Derivate și aplicații](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/derivate)
Actualizat: 2026-11-01

Tabelul de variație, intervalele de monotonie și punctele de extrem, pas cu pas.

## Pe scurt pentru BAC

- Pe un interval, $f' > 0$ înseamnă funcție strict crescătoare, iar $f' < 0$ strict descrescătoare.
- Dacă $f'$ își schimbă semnul în $x_0$, atunci $x_0$ este punct de extrem local.
- Algoritmul: calculezi $f'$, rezolvi $f'(x) = 0$, stabilești semnul lui $f'$ pe intervale și construiești tabelul de variație.
- Inegalitățile se demonstrează cu o funcție auxiliară, ca $g(x) = e^x - x - 1$, al cărei minim se arată că este $0$.

## Legătura derivată-monotonie

Pe un interval:

1. $f' > 0$ → funcția e strict CRESCĂTOARE;
2. $f' < 0$ → funcția e strict DESCRESCĂTOARE;
3. $f'$ își schimbă semnul în $x_0$ → $x_0$ e punct de EXTREM local.

## Algoritmul complet (cerința standard de BAC)

1. Calculezi $f'(x)$.
2. Rezolvi $f'(x) = 0$ (punctele critice).
3. Stabilești semnul lui $f'$ pe fiecare interval.
4. Construiești tabelul de variație și citești monotonia + extremele.

## Exemplu rezolvat complet

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 3x$.

**Pasul 1**: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

**Pasul 2**: $f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1$ și $x = 1$.

**Pasul 3-4**, tabelul de variație:

| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | | $1$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗ | $2$ | ↘ | $-2$ | ↗ |

**Concluzii**: $f$ crește pe $(-\infty, -1]$ și pe $[1, \infty)$, descrește pe $[-1, 1]$; $x = -1$ e punct de MAXIM local cu $f(-1) = 2$; $x = 1$ e punct de MINIM local cu $f(1) = -2$.

## Demonstrarea inegalităților cu derivata

"Arătați că $e^x \ge x + 1$ pentru orice $x$": definești $g(x) = e^x - x - 1$, calculezi $g'(x) = e^x - 1$, care se anulează în $x = 0$; $g$ descrește apoi crește, deci minimul e $g(0) = 0$, adică $g(x) \ge 0$. ✓

> [!RETINE]
> Punctul de extrem este VALOAREA lui x (abscisa); extremul funcției este f(x) (ordonata). La BAC se punctează distincția.

## Greșeli frecvente

1. $f'(x_0) = 0$ NU garantează extrem: la $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ dar 0 nu e extrem (semnul nu se schimbă).
2. Tabelul de variație fără semnul derivatei = punctaj pierdut.
3. Intervalele de monotonie se scriu cu capetele incluse unde funcția e definită și continuă.