# Derivata: definiție, formule și reguli de calcul

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/derivate/derivata-si-reguli
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/derivate/derivata-si-reguli.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Derivate și aplicații](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/derivate)
Actualizat: 2026-11-01

Ce măsoară derivata, tabelul derivatelor uzuale și regulile de derivare, cu exemple.

## Pe scurt pentru BAC

- Derivata în $x_0$ măsoară viteza de variație a funcției și este panta tangentei la grafic în acel punct.
- Derivate uzuale: $(x^n)' = n x^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$, $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
- Produsul se derivează cu $(f g)' = f' g + f g'$, iar câtul cu $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' g - f g'}{g^2}$.
- Derivata sumei este suma derivatelor, iar constanta care înmulțește funcția iese în fața derivatei.

## Ce măsoară derivata

**Derivata** funcției $f$ în punctul $x_0$ măsoară viteza de variație a funcției și panta tangentei la grafic:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

## Tabelul derivatelor uzuale

| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$ (constantă) | $0$ |
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |

## Regulile de derivare

$$(f + g)' = f' + g', \qquad (c f)' = c f'$$
$$(f g)' = f' g + f g', \qquad \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' g - f g'}{g^2}$$

## Exemple rezolvate

**1.** $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5$: $f'(x) = 3x^2 - 8x$.

**2.** $f(x) = x^2 e^x$: produs, deci $f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(x^2 + 2x)$.

**3.** $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$: cât, deci $f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$.

**4.** Panta tangentei la $f(x) = x^2$ în $x_0 = 3$: $f'(x) = 2x$, deci $f'(3) = 6$.

> [!ATENTIE]
> La produs NU derivezi pe fiecare și înmulțești: $(fg)' \ne f'g'$. Folosește formula completă.

## Greșeli frecvente

1. $(x^n)' = n x^{n-1}$: coboară exponentul ca factor și SCADE exponentul cu 1.
2. $(\cos x)' = -\sin x$, cu minus; $(\sin x)' = \cos x$, fără.
3. La cât, ordinea la numărător e $f'g - fg'$; inversarea schimbă semnul rezultatului.