# Conicele: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/conice-si-cercuri/conice
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/conice-si-cercuri/conice.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Conice și cercurile triunghiului](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/conice-si-cercuri)
Actualizat: 2026-09-22

Ecuațiile, definițiile prin focare, relațiile focale și asimptotele.

## Ce sunt conicele

Curbele obținute prin secționarea unui con cu un plan: cercul, elipsa, parabola și hiperbola. De aici numele.

## Cercul

Mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix, centrul.

Ecuația cercului cu centrul în $C(a, b)$ și raza $r$:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Cu centrul în origine: $x^2 + y^2 = r^2$.

**Forma generală**: $x^2 + y^2 + mx + ny + p = 0$. Centrul și raza se obțin prin formare de pătrate perfecte.

## Elipsa

Mulțimea punctelor pentru care **suma** distanțelor la două puncte fixe (focarele) e constantă.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

- $a$ = semiaxa mare, $b$ = semiaxa mică;
- distanța focală: $c^2 = a^2 - b^2$;
- dacă $a = b$, elipsa devine **cerc**.

## Hiperbola

Mulțimea punctelor pentru care **diferența** distanțelor la focare e constantă în valoare absolută.

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

- are două ramuri;
- $c^2 = a^2 + b^2$, atenție la semnul plus, spre deosebire de elipsă;
- **asimptotele**: $y = \pm \dfrac{b}{a} x$.

Semnul dintre fracții e singurul lucru care deosebește ecuația elipsei de cea a hiperbolei. Merită verificat de două ori.

## Parabola

Mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix (focarul) și de o dreaptă fixă (directoarea).

$$y^2 = 2px$$

- focarul: $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$;
- directoarea: $x = -\dfrac{p}{2}$.

Forma întâlnită la funcții, $y = ax^2 + bx + c$, e tot o parabolă, doar cu axa verticală.

## Tabel comparativ

| Conică | Ecuație | Relația focală | Definiție |
|---|---|---|---|
| Cerc | $x^2 + y^2 = r^2$ | - | distanță constantă la centru |
| Elipsă | $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $c^2 = a^2 - b^2$ | **suma** distanțelor la focare, constantă |
| Hiperbolă | $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ | $c^2 = a^2 + b^2$ | **diferența** distanțelor la focare, constantă |
| Parabolă | $y^2 = 2px$ | - | egal depărtat de focar și de directoare |

> [!RETINE]
> Plus între fracții înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă. La elipsă $c^2 = a^2 - b^2$, la hiperbolă $c^2 = a^2 + b^2$. Cele două relații se inversează des la examen.

## Greșeli frecvente

1. Se confundă semnul dintre fracții, deci elipsa cu hiperbola.
2. Se inversează relațiile focale.
3. Se uită că cercul e caz particular de elipsă, cu $a = b$.
4. La forma generală a cercului se sare peste formarea pătratelor perfecte.