# Razele cercurilor înscris și circumscris

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/conice-si-cercuri/cercuri-in-triunghi
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/conice-si-cercuri/cercuri-in-triunghi.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Conice și cercurile triunghiului](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/conice-si-cercuri)
Actualizat: 2026-09-22

Formulele pentru R și r, aria în funcție de datele cunoscute, teorema sinusurilor și a cosinusului.

## Notații

În triunghiul $ABC$: laturile $a$, $b$, $c$, aria $S$, semiperimetrul $p = \dfrac{a+b+c}{2}$.

## Raza cercului circumscris

Cercul care trece prin toate cele trei vârfuri. Centrul lui e la intersecția **mediatoarelor**.

$$R = \frac{abc}{4S}$$

Din **teorema sinusurilor** rezultă și:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

A doua formă e adesea mai rapidă: dacă știi o latură și unghiul opus ei, ai imediat $R$.

## Raza cercului înscris

Cercul tangent celor trei laturi. Centrul lui e la intersecția **bisectoarelor**.

$$r = \frac{S}{p}$$

## Aria, în funcție de ce ai

| Ce cunoști | Formula |
|---|---|
| bază și înălțime | $S = \dfrac{b \cdot h}{2}$ |
| două laturi și unghiul dintre ele | $S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$ |
| toate laturile | $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (Heron) |
| laturile și raza circumscrisă | $S = \dfrac{abc}{4R}$ |
| semiperimetrul și raza înscrisă | $S = p \cdot r$ |

Ultimele două nu sunt formule noi, ci relațiile de mai sus rescrise. De aceea merită ținute minte împreună.

## Exemplu

Triunghiul cu laturile 3, 4, 5. E dreptunghic, pentru că $9 + 16 = 25$.

- $p = \dfrac{3+4+5}{2} = 6$;
- $S = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6$;
- $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{6}{6} = 1$;
- $R = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5$.

Verificare: la triunghiul dreptunghic, $R$ e jumătate din ipotenuză, adică $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$. Coincide.

Verificare cu Heron: $\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$. Coincide.

## Teorema cosinusului

Când ai două laturi și unghiul dintre ele, sau toate trei laturile:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

Pentru $A = 90°$, cosinusul e zero și rămâne teorema lui Pitagora. E un caz particular, nu o formulă separată.

## Greșeli frecvente

1. Se confundă $R$ cu $r$. Circumscris trece prin vârfuri, înscris e tangent laturilor.
2. Se uită că la triunghiul dreptunghic $R$ e jumătate din ipotenuză.
3. La Heron se folosește perimetrul în loc de semiperimetru.
4. Se aplică teorema sinusurilor cu un unghi care nu e opus laturii folosite.