# Combinatorică și probabilități

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/combinatorica-si-probabilitati/combinari-permutari-probabilitati
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/combinatorica-si-probabilitati/combinari-permutari-probabilitati.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Combinatorică și probabilități](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/combinatorica-si-probabilitati)
Actualizat: 2026-11-01

Permutări, aranjamente, combinări și calculul probabilităților clasice.

## Pe scurt pentru BAC

- Numărul de moduri de a ordona $n$ obiecte distincte este $P_n = n!$.
- Aranjamentele aleg și ordonează: $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$; combinările aleg fără ordine: $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
- Proprietăți utile ale combinărilor: $C_n^k = C_n^{n-k}$ și $C_n^0 = C_n^n = 1$.
- Probabilitatea clasică este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.

## Permutări

Numărul de moduri de a ordona $n$ obiecte distincte:

$$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$$

**Exemplu.** 4 elevi se așază pe 4 scaune: $4! = 24$ de moduri.

## Aranjamente

Alegem și ORDONĂM $k$ obiecte din $n$:

$$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$$

**Exemplu.** Câte numere de 2 cifre distincte se formează cu cifrele 1-5? $A_5^2 = 5 \cdot 4 = 20$.

## Combinări

Alegem $k$ obiecte din $n$ FĂRĂ să conteze ordinea:

$$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$

**Exemplu.** Câte echipe de 2 elevi se formează din 5? $C_5^2 = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Proprietăți utile: $C_n^k = C_n^{n-k}$, $C_n^0 = C_n^n = 1$.

## Probabilitatea clasică

$$P = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$$

**Exemplu 1.** Probabilitatea ca la aruncarea unui zar să obținem un număr par: cazuri favorabile {2, 4, 6}, deci $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

**Exemplu 2.** Dintr-o urnă cu 3 bile albe și 7 negre extragem o bilă. $P(\text{albă}) = \dfrac{3}{10}$.

**Exemplu 3.** Probabilitatea ca un element $n \in \{1, 2, \ldots, 10\}$ să verifice $n^2 \le 20$: favorabile {1, 2, 3, 4}, deci $P = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.

> [!RETINE]
> Ordinea contează → aranjamente; ordinea NU contează → combinări. "Echipă, grup, submulțime" = combinări; "număr, cod, clasament" = aranjamente.

## Greșeli frecvente

1. $0! = 1$, prin convenție.
2. La probabilitate, numără TOATE cazurile posibile corect (spațiul total).
3. $C_n^k$ cere $0 \le k \le n$; altfel valoarea e 0.