# Binomul lui Newton

> Pagina: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/combinatorica-si-probabilitati/binomul-lui-newton
> Markdown: https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/combinatorica-si-probabilitati/binomul-lui-newton.md
> Sursa: Bacalaurescu (bacalaurescu.ro), conținut gratuit pentru BAC 2027.

Materia: [Matematică](https://bacalaurescu.ro/matematica)

Capitolul: [Combinatorică și probabilități](https://bacalaurescu.ro/matematica/lectii/combinatorica-si-probabilitati)
Actualizat: 2026-11-01

Dezvoltarea (a+b)^n, termenul general și identitățile cu coeficienți binomiali.

## Pe scurt pentru BAC

- Termenul general al dezvoltării $(a + b)^n$ este $T_{k+1} = C_n^k \, a^{n-k} \, b^k$.
- Ca să găsești termenul care conține $x^p$, egalezi exponentul lui $x$ din termenul general cu $p$ și afli $k$.
- Suma coeficienților binomiali este $2^n$, iar suma celor de rang par este egală cu suma celor de rang impar, $2^{n-1}$.
- Dezvoltarea lui $(a+b)^n$ are $n + 1$ termeni, iar termenul din mijloc există doar pentru $n$ par.

## Formula binomului

$$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \ldots + C_n^n b^n$$

**Termenul general** (al $(k+1)$-lea, numerotarea de la $k = 0$):

$$T_{k+1} = C_n^k \, a^{n-k} \, b^k$$

## Exemplu: dezvoltare completă

$$(x + 2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2 + C_4^2 x^2 \cdot 4 + C_4^3 x \cdot 8 + C_4^4 \cdot 16$$
$$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$$

Verificare rapidă: suma coeficienților se obține cu $x = 1$: $3^4 = 81 = 1 + 8 + 24 + 32 + 16$ ✓.

## Tiparul de BAC: termenul care conține $x^p$

**Exemplu.** Găsește termenul care conține $x^3$ din dezvoltarea $(x + 2)^5$.

$T_{k+1} = C_5^k x^{5-k} 2^k$; cer $5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$:

$$T_3 = C_5^2 \cdot x^3 \cdot 4 = 10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3$$

## Identitățile esențiale

1. **Suma tuturor coeficienților binomiali** (pui $a = b = 1$):
$$C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n$$
2. **Suma alternată** (pui $a = 1, b = -1$): $C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \ldots = 0$.
3. Consecință: suma celor de rang par = suma celor de rang impar $= 2^{n-1}$.

**Exemplu.** $C_6^0 + C_6^1 + \ldots + C_6^6 = 2^6 = 64$.

## Numărul de termeni

Dezvoltarea lui $(a+b)^n$ are $n + 1$ termeni; termenul "din mijloc" există doar pentru $n$ par ($T_{n/2+1}$).

> [!RETINE]
> În termenul general, k pornește de la 0, iar termenul e al (k+1)-lea. Confuzia k ↔ k+1 e cea mai frecventă greșeală la acest subiect.

## Greșeli frecvente

1. Exponentul lui $b$ este $k$, al lui $a$ este $n-k$: nu invers.
2. La $(x - 2)^n$, $b = -2$: semnul intră în puterea $b^k$ (termenii alternează).
3. Suma coeficienților DEZVOLTĂRII se obține cu $x = 1$ (include puterile lui 2 din exemplu), diferită de suma coeficienților binomiali.